北京市2019-2020学年高三上学期月考（12月）数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合A={x|x<1}，B={x|}，则

A.  B.

C.  D.

2. 难度：简单

已知复数的实部和虚部相等，则（    ）

A.-1 B.1

C.2 D.-2

3. 难度：简单

已知，则下列不等式成立的是（    ）

A. B.

C. D.

4. 难度：简单

已知直线的斜率为，倾斜角为，则“”是“”的（    ）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5. 难度：简单

已知正方形的中心为，且边长为1，则（    ）

A.-1 B.

C.1 D.

6. 难度：简单

双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为（    ）

A. B.

C. D.

7. 难度：中等

中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思是有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（    ）

A.96里 B.48里

C.192里 D.24里

8. 难度：中等

已知函数，则下列结论错误的是（    ）

A. B.时，的值域为

C.在上单调递增时，或 D.方程有解时，

9. 难度：中等

三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点的横、纵坐标分别为第名工人上午的工作时间和加工的零件数，点的横、纵坐标分别为第名工人下午的工作时间和加工的零件数，.记为第名工人在这一天中加工的零件总数，记为第名工人在这一天中平均加工的零件数，则，，中的最大值与，，中的最大值分别是（    ）

A.， B.，

C.， D.，

二、填空题

10. 难度：简单

抛物线的准线方程为______.

11. 难度：简单

已知四个函数：①，②，③，④，从中任选2个，若所选2个函数的图像有且仅有一个公共点，则这两个函数可以是______.（写出一对序号即可）

12. 难度：中等

在正项等比数列中，若，，，成等差数列，则______.

13. 难度：中等

方程在区间上的解集为______.

14. 难度：中等

设a＞0,b＞0． 若关于x,y的方程组无解，则的取值范围是      ．

15. 难度：中等

对任意两个非零的平面向量和，定义和之间的新运算：.若非零的平面向量，满足：和都在集合中，且.设与的夹角，则______.

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数.

（1）求函数的单调递减区间；

（2）当时，恒成立，求的取值范围.

17. 难度：中等

的内角的对边分别为已知.

（1）求角和边长；

（2）设为边上一点，且,求的面积.

18. 难度：中等

已知过，，三点.

（1）求的标准方程；

（2）直线：与相交于，两点，求的面积（为圆心）.

19. 难度：中等

已知函数.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）若，证明“”是“”的充分不必要条件.

20. 难度：困难

已知椭圆：与轴交于，两点，为椭圆的左焦点，且是边长为2的等边三角形.

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点的直线与椭圆交于不同的两点，，点关于轴的对称点为（与，都不重合），判断直线与轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由.

21. 难度：困难

已知数列：，，，…，为1，2，3，…，的一个排列，若互不相同，则称数列具有性质.

（1）若，且，写出具有性质的所有数列；

（2）若数列具有性质，证明：；

（3）当时，分别判断是否存在具有性质的数列？请说明理由.