2020届广东省深圳市罗湖区高三上学期期末质量检测数学文科试卷

一、单选题

1. 难度：简单

设复数，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

设全集，集合，，则(    )

A. B. C. D.

3. 难度：简单

中国古代的五音，一般指五声音阶，依次为：宫、商、角、徵、羽；如果把这五个音阶全用上，排成一个5个音阶的音序.在所有的这些音序中随机抽出一个音序，则这个音序中宫、羽两音阶在角音阶的同侧的概率为(    )

A. B. C. D.

4. 难度：简单

已知平面向量，，，则（    ）

A. B. C. D.

5. 难度：简单

为了研究不同性别在处理多任务时的表现差异，召集了男女志愿者各200名，要求他们同时完成多个任务，包括解题、读地图、接电话.下图表示了志愿者完成任务所需的时间分布.以下结论，对志愿者完成任务所需的时间分布图表理解正确的是（    ）

①总体看女性处理多任务平均用时更短；

②所有女性处理多任务的能力都要优于男性；

③男性的时间分布更接近正态分布；

④女性处理多任务的用时为正数，男性处理多任务的用时为负数.

A.①④ B.②③ C.①③ D.②④

6. 难度：简单

已知为等差数列的前项和，若，，则（    ）

A.6 B.15 C.16 D.18

7. 难度：中等

如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各面中，面积最大的面的面积为(    )

A.6 B. C. D.4

8. 难度：中等

已知函数是定义域为的奇函数，当时，.函数，若存在3个零点，则的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

9. 难度：中等

记不等式表示的平面区域为.命题：，；命题：，.下面给出了四个命题：①；②；③；④.这四个命题中，所有真命题的编号是(    )

A.①③ B.②④ C.②③ D.①④

10. 难度：中等

设函数，已知在有且仅有2个极小值点，则的取值范围是(    )

A. B. C. D.

11. 难度：简单

在中，内角，，的对边分别为，，，已知且，则(    )

A. B. C. D.

12. 难度：中等

已知双曲线：的左，右焦点分别为、，以为直径的圆与的一条渐近线交于点，，则该双曲线的离心率为（    ）

A.2 B.3 C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

______.

14. 难度：简单

已知，则曲线在点处的切线方程是______.

15. 难度：中等

已知直线：经过抛物线：的焦点，且与交于、两点，与的准线交于点，若，则______，______.

16. 难度：中等

已知三棱锥中，，当三棱锥体积最大值时，三棱锥的外接球的体积为______.

三、解答题

17. 难度：简单

如表是我国2012年至2018年国内生产总值（单位：万亿美元）的数据：

年份	2012	2013	2014	2015	2016	2017	2018
年份代号	1	2	3	4	5	6	7
国内生产总值 （单位：万亿美元）	8.5	9.6	10.4	11	11.1	12.1	13.6

(1)从表中数据可知和线性相关性较强，求出以为解释变量为预报变量的线性回归方程；

(2)已知美国2018年的国内生产总值约为20.5万亿美元，用(1)的结论，求出我国最早在那个年份才能赶上美国2018年的国内生产总值？

参考数据：，

参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:

，.

18. 难度：简单

已知等比数列的各项均为正数，为等比数列的前项和，若，.

(1)恒成立，求的最小值；

(2)设，求数列的前项和.

19. 难度：中等

如图，在矩形中，，为边的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且使平面平面.

（1）证明：平面；

（2）求点到平面的距离.

20. 难度：中等

已知函数，为常数.

(1)讨论函数的单调区间；

(2)若恒成立，求实数的取值范围.

21. 难度：困难

已知圆：的圆心为，圆：的圆心为，一动圆与圆内切，与圆外切.

(1)求动圆圆心的轨迹方程；

(2)过点的直线与曲线交于，两点，点是直线上任意点，直线，，的斜率分别为，，，试探求，，的关系，并给出证明.

22. 难度：中等

在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数），设与的交点为，当变化时，的轨迹为曲线.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）写出的普通方程；

（2）求曲线和曲线交点的极坐标.

23. 难度：中等

已知，函数.

（1）若，，求函数的最小值；

（2）证明：.