广东省中山市2019-2020学年高二上学期期末数学试卷

一、单选题

1. 难度：中等

“”是“”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

2. 难度：简单

在等差数列中，若的值是(  )

A.15 B.16 C.17 D.18

3. 难度：中等

如图在一个的二面角的棱上有两点，线段分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱垂直，若，，，则的长为（    ）.   

A.2 B.3 C. D.4

4. 难度：中等

已知等比数列的各项均为正数，前项和为，若，则

A. B. C. D.

5. 难度：中等

《几何原本》卷2的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.现有如下图形：是半圆的直径，点在半圆周上，于点，设，，直接通过比较线段与线段的长度可以完成的“无字证明”为（     ）

A. B.

C. D.

6. 难度：中等

已知点是双曲线（，）的右支上一点，是右焦点，若（是坐标原点）是等边三角形，则该双曲线的离心率为

A. B.

C. D.

7. 难度：中等

如图，为了测量某湿地两点之间的距离，观察者找到在同一条直线上的三点.从点测得，从点测得，，从点测得.若测得，（单位：百米），则两点之间的距离为（    ）

A. B. C. D.

8. 难度：简单

设动点到点和的距离分别为和，，且存在常数，使得，则动点的轨迹的方程为（    ）

A. B. C. D.

二、多选题

9. 难度：简单

若，则下列结论中正确的是（    ）

A. B. C. D.

10. 难度：简单

在中，角所对的边的长分别为，则满足下面条件的三角形一定为直角三角形的是（    ）

A. B.

C. D.

11. 难度：中等

已知点和点，直线，的斜率乘积为常数，设点的轨迹为，下列说法正确的是（    ）

A.存在非零常数，使上所有点到两点，距离之和为定值

B.存在非零常数，使上所有点到两点，距离之和为定值

C.不存在非零常数，使上所有点到两点，距离之差的绝对值为定值

D.不存在非零常数，使上所有点到两点，距离之差的绝对值为定值

12. 难度：中等

意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列满足：，，.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前项所占的格子的面积之和为，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为，则下列结论正确的是（    ）

A. B.

C. D.

三、填空题

13. 难度：简单

命题:，是__________（填“全称命题”或“特称命题”），它是_________命题（填“真”或“假”）.

14. 难度：简单

已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有，则x＝________.

15. 难度：中等

已知直线经过抛物线的焦点，与交于两点，若，则的值为__________．

16. 难度：中等

若数列满足：，若数列的前99项之和为，则__________．

四、解答题

17. 难度：中等

如图，是直角斜边上一点，，记,.

（1）证明；

（2）若，求的值.

18. 难度：中等

两城市和相距，现计划在两城市外以为直径的半圆上选择一点建造垃圾处理场，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城和城的总影响度为城和城的影响度之和，记点到城的距离为，建在处的垃圾处理场对城和城的总影响度为，统计调查表明：垃圾处理场对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为4，对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为，当垃圾处理场建在的中点时，对城和城的总影响度为0.065；

（1）将表示成的函数；

（2）判断上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理场对城和城的总影响度最小?若存在，求出该点到城的距离；若不存在，说明理由；

19. 难度：中等

已知数列的前项和，是等差数列，且.

（1）求数列，的通项公式；

（2）令，求数列的前项和.

20. 难度：中等

已知直线与焦点为F的抛物线相切.

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值.

21. 难度：中等

在四棱锥的底面是菱形， 底面，， 分别是的中点， .

（Ⅰ）求证： ；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；

（III）在边上是否存在点，使与所成角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.

22. 难度：困难

已知圆的方程为，若抛物线过点，且以圆0的切线为准线，为抛物线的焦点，点的轨迹为曲线.

(1)求曲线的方程;

(2)过点作直线交曲线与两点，关于轴对称，请问:直线是否过轴上的定点，如果不过请说明理由，如果过定点，请求出定点的坐标