广西柳州高级中学2019-2020学年高二寒假第二次线上测试数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

复数z满足，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

已知为任意角，则“”是“”的（    ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要

3. 难度：简单

某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为 （ ）

A.11 B.12 C.13 D.14

4. 难度：简单

若=，=2，且（），则与的夹角是

A. B. C. D.

5. 难度：简单

袋中有大小相同的三个白球和两个黑球，从中任取两个球，两球同色的概率为（ ）

A. B. C. D.

6. 难度：简单

下列命题：

①若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差不变；

②在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；

③设随机变量服从正态分布，若，则；

④对分类变量与的随机变量的观测值来说，越小，判断“与有关系”的把握越大.其中正确的命题序号是（    ）

A.①② B.①②③ C.①③④ D.②③④

7. 难度：简单

在的展开式中，的系数为（   ）

A. B. C. D.

8. 难度：简单

已知双曲线C：的一条渐近线的斜率为，焦距为10，则双曲线C的方程为（  ）

A.  B.  C.  D.

9. 难度：简单

某单位安排7位工作人员在10月1日到10月7日值班，每人值一天，其中甲、乙二人安排在相邻两天，并且甲只能在双日值班，则不同的安排方法有（    ）

A.120种 B.240种 C.360种 D.720种

10. 难度：中等

如图所示，在三棱锥P–ABC中，PA⊥平面ABC，D是棱PB的中点，已知PA=BC=2，AB=4，CB⊥AB，则异面直线PC，AD所成角的余弦值为

A. B. C. D.

11. 难度：中等

已知是函数图象上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（    ）

A. B. C.0 D.

12. 难度：困难

若函数在区间上有两个极值点，则的可能取值为（    ）

A.3 B.4 C.5 D.6

二、填空题

13. 难度：简单

若，满足约束条件，则的最小值为__________.

14. 难度：简单

若等差数列和等比数列满足，，则________．

15. 难度：中等

已知三棱锥P-ABC中，是面积为的等边三角形，，则当点C到平面PAB的距离最大时，三棱锥P-ABC外接球的表面积为_______．

16. 难度：困难

已知函数，若正实数a，b满足，则的最小值为_______.

三、解答题

17. 难度：中等

的内角的对边分别为，已知，.

（1）求角C；

（2）延长线段到点D，使，求周长的取值范围．

18. 难度：中等

在中（图1），，，为线段上的点，且.以为折线，把翻折，得到如图2所示的图形，为的中点，且，连接.

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值.

19. 难度：中等

为了响应国家号召，某校组织部分学生参与了“垃圾分类，从我做起”的知识问卷作答，并将学生的作答结果分为“合格”与“不合格”两类与“问卷的结果”有关？

	不合格	合格
男生	14	16
女生	10	20

（1）是否有90%以上的把握认为“性别”与“问卷的结果”有关？

（2）在成绩合格的学生中，利用性别进行分层抽样，共选取9人进行座谈，再从这9人中随机抽取5人发送奖品，记拿到奖品的男生人数为X，求X的分布列及数学期望．

附：

	0．100	0．050	0．010	0．001
	2．703	3．841	6．635	10．828

20. 难度：中等

已知函数．

（1）若曲线在点处的切线与轴平行，且，求的值；

（2）若，对恒成立，求的取值范围．

21. 难度：困难

已知椭圆的左、右焦点分别为、,椭圆的离心率为,过椭圆的左焦点,且斜率为的直线,与以右焦点为圆心,半径为的圆相切.

（1）求椭圆的标准方程;

（2）线段是椭圆过右焦点的弦,且,求的面积的最大值以及取最大值时实数的值.

22. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程.

以直角坐标系原点为极点，轴正方向为极轴，已知曲线的方程为，的方程为，是一条经过原点且斜率大于0的直线.

（1）求与的极坐标方程；

（2）若与的一个公共点（异于点），与的一个公共点为，求的取值范围.

23. 难度：中等

已知正实数满足 .

（1）求 的最小值.

（2）证明：