广东省汕头市2019-2020学年高二上学期期中数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：中等

已知a=2^1.3，b=4^0.7，c=log₃8，则a，b，c的大小关系为（    ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

命题“，”的否定是（    ）

A.， B.，

C.， D.，

4. 难度：简单

已知直线，直线，且，则的值为（ ）

A.-1 B. C.或-2 D.-1或-2

5. 难度：中等

设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（    ）

A.若l∥，m⊥，则l⊥m B.若l⊥m，m∥，则l⊥

C.若l⊥m，m⊥，则l∥ D.若l∥，m∥，则l∥m

6. 难度：简单

在中，若点满足，则（    ）

A. B.

C. D.

7. 难度：简单

为了得到函数的图像，可以将函数的图像（     ）

A.向左平移个单位 B.向右平移个单位

C.向右平移个单位 D.向左平移个单位

8. 难度：中等

若，，且，则的最小值是（   ）

A. B. C. D.

9. 难度：中等

设D为椭圆上任意一点，A（0，－2），B（0，2），延长AD至点P，使得|PD|＝|BD|，则点P的轨迹方程为（  ）

A.x²＋（y－2）²＝20 B.x²＋（y－2）²＝5

C.x²＋（y＋2）²＝20 D.x²＋（y＋2）²＝5

10. 难度：简单

已知圆，直线l：，若圆上恰有4个点到直线l的距离都等于1，则b的取值范围为   

A.  B.  C.  D.

11. 难度：中等

已知，分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，且，O为坐标原点，若，则椭圆的离心率为（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：中等

设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域是，则称为“倍缩函数”，若函数为“倍缩函数”，则实数的范围是（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

一个骰子连续投2次，点数积大于21的概率为________.

14. 难度：简单

过圆上一点作圆的切线， 则该切线的方程为______ ．

15. 难度：中等

已知A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中是正三角形，平面ABC，，则该球的体积为_________.

16. 难度：中等

已知棱长为1的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E，F，M分别是线段AB、AD、AA₁的中点，又P、Q分别在线段A₁B₁、A₁D₁上，且A₁P＝A₁Q＝x(0<x<1).设平面MEF∩平面MPQ

＝l，现有下列结论：

①l∥平面ABCD；

②l⊥AC；

③直线l与平面BCC₁B₁不垂直；

④当x变化时，l不是定直线.

其中不成立的结论是________.(写出所有不成立结论的序号)

三、解答题

17. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₉=81，a₃+a₅=14．

（1）求数列{a_n}的通项公式；

（2）设b_n=，若{b_n}的前n项和为T_n，证明：T_n＜．

18. 难度：中等

某学校随机抽取部分学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据制成频率分布直方图（如图），若上学路上所需时间的范围为，样本数据分组为，，，，.

（1）求直方图中a的值；

（2）如果上学路上所需时间不少于40分钟的学生可申请在学校住宿，若招收学生1200人，请估计所招学生中有多少人可以申请住宿；

（3）求该校学生上学路上所需的平均时间.

19. 难度：中等

如图，正三棱柱中，各棱长均为4，    、分别是，的中点.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的余弦值.

20. 难度：中等

已知以点C为圆心的圆经过点和，且圆心在直线上.

（1）求圆C的方程；

（2）设点P在圆C上，求△PAB的面积的最大值.

21. 难度：困难

已知椭圆C：（a>b>0），四点P₁（1,1），P₂（0,1），P₃（–1，），P₄（1，）中恰有三点在椭圆C上.

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）设直线l不经过P₂点且与C相交于A，B两点.若直线P₂A与直线P₂B的斜率的和为–1，证明：l过定点.

22. 难度：困难

设为实数，函数.

（1）求证：不是上的奇函数；

（2）若是上的单调函数，求实数的值；

（3）若函数在区间上恰有3个不同的零点，求实数的取值范围.