2020届云南省陆良县高三毕业班第二次教学质量摸底考试数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合则（    ）

A. B.

C. D.

2. 难度：简单

复数在复平面内表示的点位于（    ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3. 难度：简单

已知为等差数列，若，则（    ）

A.24 B.27 C.36 D.54

4. 难度：简单

已知双曲线的离心率为，则的值为（    ）

A.1 B. C. D.9

5. 难度：中等

向如图的正方形内随机投掷一质点，则该质点落在阴影部分的概率为（    ）

A. B. C. D.

6. 难度：中等

已知向量与向量的夹角为，，，则（    ）

A.1 B.2 C. D.

7. 难度：中等

的展开式中的常数项是（    ）

A.-120 B.-60 C.60 D.120

8. 难度：中等

将函数的图像横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个长度单位，得到的函数图像的一条对称轴为（    ）

A. B. C. D.

9. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，若输出的S为，则判断框中应填（   ）

A. B. C. D.

10. 难度：中等

已知函数 ，若，则实数取值范围是（   ）

A. B.

C. D.

11. 难度：中等

若，函数在R上是增函数，则是的（   ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

12. 难度：困难

已知椭圆的两个焦点为，为椭圆上一点，.若的内切圆面积为，则椭圆的离心率为（   ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

若随机变量，且，则__________.

14. 难度：中等

设变量x，y满足约束条件，则的最小值为_________.

15. 难度：中等

若是第二象限的角，且，则___________.

16. 难度：困难

已知是球面上的四点，且，若三棱锥的体积的最大值为，则球的体积为________________.

三、解答题

17. 难度：中等

在△ ABC中，为锐角，角A、B、C的对边分别为、、，是外接圆半径，已知向量，且.

（Ⅰ）求角；

（Ⅱ）若，△ ABC的面积为，求的值.

18. 难度：中等

普通高中国家助学金，用于资助家庭困难的在校高中生.在本地，助学金分一等和二等两类，一等助学金每学期1250元，二等助学金每学期750元，并规定：属于农村建档立卡户的学生评一等助学金.某班有10名获得助学金的贫困学生，其中有3名属于农村建档立卡户，这10名学生中有4名获一等助学金，另6名获二等助学金.现从这10名学生中任选3名参加座谈会.

（Ⅰ）若事件A表示“选出的3名同学既有建档立卡户学生，又有非建档立卡户学生”，求A的概率；

（Ⅱ）设X为选出的3名同学一学期获助学金的总金额，求随机变量X的分布列和数学期望．

19. 难度：中等

如图的几何体中，．底面是正三角形，．四边形是矩形，且平面底面．

（Ⅰ）在上运动，当在何处时，有平面，并且说明理由；

（Ⅱ）当平面时，求二面角余弦值．

20. 难度：中等

已知为抛物线上一点，点到直线的最小距离为．

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）过点（1，0）作两条互相垂直的直线，与抛物线C分别交于，求四边形的面积的最小值．

21. 难度：困难

已知函数．

（Ⅰ）若是的极值点，确定的值；

（Ⅱ）当时，，求实数的取值范围．

22. 难度：中等

在直角坐标系中，以原点为极点、轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，曲线、相交于点A，B.

（Ⅰ）将曲线、的极坐标方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）求弦AB的长.

23. 难度：中等

已知函数，

1当时，解不等式；

2若存在，使得成立，求实数a的取值范围．