2019届湖南省益阳市高三上学期9月教学质量检测数学(理)试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，，则(    )

A. B. C. D.

2. 难度：简单

若复数满足为虚数单位），则等于(    )

A.6 B.2 C. D.

3. 难度：简单

等差数列中，，，则其前5项和为(    )

A.13 B.35 C.42 D.56

4. 难度：简单

设随机变量服从正态分布，若，则的值为(    )

A. B.2 C. D.5

5. 难度：中等

如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是

A. B. C. D.

6. 难度：简单

执行如图所示的程序框图，若输入的N值为100，则输出的结果s是(    )

A. B. C. D.

7. 难度：中等

已知命题：“存在，使得”，则下列说法正确的是（   ）

A．是假命题；：“任意，都有”

B．是真命题；：“不存在，使得”

C．是真命题；：“任意，都有”

D．是假命题；：“任意，都有”

8. 难度：简单

已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足f（2x-1）＜f（3）的x的取值范围是（　　）

A.  B.  C.  D.

9. 难度：简单

函数的图象与轴正半轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，若要得到函数的图象，只要将的图象　　个单位

A.向左平移 B.向右平移

C.向左平移 D.向右平移

10. 难度：中等

以抛物线的顶点为圆心的圆交于、两点，交的准线于、两点，已知，，则的焦点到准线的距离为(    )

A.1 B.2 C.4 D.8

11. 难度：中等

已知数列的通项公式为，数列的通项公式为，设，在数列中，，则实数的取值范围是　　

A. B. C. D.

12. 难度：困难

已知函数，若是的极大值点，则整数的最小值为(    )

A.0 B.1 C.2 D.3

二、填空题

13. 难度：简单

若非零向量满足0且，则与的夹角为_____.

14. 难度：简单

若变量，满足约束条件，则的最大值为______.

15. 难度：中等

两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm，4cm，3cm，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是_____.

16. 难度：困难

F₁，F₂分别为双曲线（a，b>0）的左、右焦点，点P在双曲线上，满足0，若△PF₁F₂的内切圆半径与外接圆半径之比为，则该双曲线的离心率为_____.

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足sin，4.

（1）求△ABC 的面积；

（2）若a+c=7，求b的值.

18. 难度：中等

某市推行“共享汽车”服务，租用汽车按行驶里程加用车时间收费，标准是“1元/公里+0.2元/分钟”，刚在该市参加工作的小刘拟租用“共享汽车“上下班.单位同事老李告诉他：“上下班往返总路程虽然只有10公里，但偶尔上下班总共也需要用时大约1小时”，并将自己近50天往返开车的花费时间情况统计如下

时间（分钟）	[15，25）	[25，35）	[35，45）	[45，55）	[55，65）
次数ξ	8	18	14	8	2

将老李统计的各时间段频率视为相应概率，假定往返的路况不变，而且每次路上开车花费时间视为用车时间.

（1）试估计小刘每天平均支付的租车费用（每个时间段以中点时间计算）；

（2）小刘认为只要上下班开车总用时不超过45分钟，租用“共享汽车”为他该日的“最优选择”，小刘拟租用该车上下班2天，设其中有ξ天为“最优选择”，求ξ的分布列和数学期望.

19. 难度：中等

如图，在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是棱AA₁，AD上的点，且AE=EA₁，AFFD.

（1）求证：平面EC₁D₁⊥平面EFB；

（2）求二面角E﹣FB﹣A的余弦值.

20. 难度：困难

已知P（3，）是椭圆C：1上的点，Q是P关于x轴的对称点，椭圆C的离心率为.

 

（1）求椭圆C的方程；

（2）A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点.

①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值.

②当A、B在运动过程中满足∠APQ=∠BPQ时，问直线AB的斜率是否为定值，并说明理由.

21. 难度：困难

已知.

（1）当a时，求证：；

（2）当时，求函数在上的最大值

22. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为（α为参数）.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的坐标系中，曲线C₂的方程为（m为常数）

（1）求曲线C₁，C₂的直角坐标方程；

（2）若曲线C₁，C₂有两个交点P、Q，当|PQ|时，求m的值.

23. 难度：中等

已知f（x）=|x﹣a|+|x﹣3|.

（1）当a=1时，解不等式：；

（2）若不等式的解集非空，求a的取值范围.