2007年北京市海淀区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

计算得（ ）
A．-3+i
B．-1+i
C．1-i
D．-2+2i

2. 难度：中等

过点的直线l经过圆x²+y²-2y=0的圆心，则直线l的倾斜角大小为（ ）
A．30°
B．60°
C．150°
D．120°

3. 难度：中等

函数的反函数为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题：
①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；
②若α⊥γ，β⊥γ则α∥β；
③若m∥α，n∥α，则m∥n；
④若α∥β，β∥γ，m⊥α则m⊥γ．
其中正确命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

5. 难度：中等

从3名男生和3名女生中，选出3名分别担任语文、数学、英语的课代表，要求至少有1名女生，则选派方案共有（ ）
A．19种
B．54种
C．114种
D．120种

6. 难度：中等

已知A={x||x-1|≥1，x∈R}，B={x|log₂x＞1，x∈R}，则“x∈A”是“x∈B”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

7. 难度：中等

定点N（1，0），动点A、B分别在图中抛物线y²=4x及椭圆的实线部分上运动，且AB∥x轴，则△NAB的周长l取值范围是（ ）
A．（）
B．（）
C．（）
D．（2，4）

8. 难度：中等

已知函数．若实数a、b使得f（x）=0有实根，则a²+b²的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．2

二、解答题

9. 难度：中等

已知x、y满足约束条件，则z=2x+y的最小值为    ．

10. 难度：中等

四面体ABCD中，E是AD中点，F是BC中点，AB=DC=1，EF=，则直线AB与DC所成的角大小为    ．

11. 难度：中等

已知平面向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ）（α、β∈R）．当时，•的值为    ；若=λ，则实数λ的值为    ．

12. 难度：中等

的展开式的二项式系数之和为64，则展开式中常数项为    ．

13. 难度：中等

已知定义在正实数集上的连续函数，则实数a的值为     ．

14. 难度：中等

某资料室在计算机使用中，如表所示，编码以一定规则排列，且从左至右以及从上到下都是无限的．此表中，主对角线上数列1，2，5，10，17，…的通项公式为    ；编码100共出现    次．

1	1	1	1	1	1	…
1	2	3	4	5	6	…
1	3	5	7	9	11	…
1	4	7	10	13	16	…
1	5	9	13	17	21	…
1	6	11	16	21	26	…
…	…	…	…	…	…	…

15. 难度：中等

已知函数f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x-2．
（I）求函数f（x）的最小正周期；
（II）当时，求函数f（x）的最大值，最小值．

16. 难度：中等

一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有2件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收．抽检规则是这样的：一次取一件产品检查，若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品，而前三次中只要抽查到次品就停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品．
（Ⅰ）求这箱产品被用户拒绝接收的概率；
（Ⅱ）记x表示抽检的产品件数，求x的概率分布列．

17. 难度：中等

四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD=CD=1，∠BAD=120°，PA=，∠ACB=90°．
（I）求证：BC⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角D-PC-A的大小；
（Ⅲ）求点B到平面PCD的距离．

18. 难度：中等

已知函数（a＞0且a为常数）．
（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若不等式对x∈[-，+∞）恒成立，求a的取值范围．

19. 难度：中等

如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，直线AB⊥x轴与点C，，，动点M到直线AB的距离是它到点D的距离的2倍．
（I）求点M的轨迹方程
（II）设点K为点M的轨迹与x轴正半轴的交点，直线l交点M的轨迹于E，F两点（E，F与点K不重合），且满足．动点P满足，求直线KP的斜率的取值范围．

20. 难度：中等

已知S_n为数列{a_n}的前n项和，且S_n=2a_n+n²-3n-2，n=1，2，3…．
（Ⅰ）求证：数列{a_n-2n}为等比数列；
（Ⅱ）设b_n=a_n•cosnπ，求数列{b_n}的前n项和P_n；
（Ⅲ）设，数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：．