Question

如图1，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为矩形，点A、B的坐标分别为（6，1）、（6，3），C、D在y轴上，点M从点A出发，以每秒3个单位的速度沿AD向终点D运动，点N从点C同时出发，以每秒1个单位的速度沿CB向终点B运动，当一个点到达终点时，另一个点也同时停止运动．过点M作MP⊥AD，交BD于点P，连接NP，两动点同时运动了t秒．
（1）当t=1时，求P点的坐标；
（2）当运动了t秒时，△NPB的面积S，求S与t的函数关系式，并求S的最大值；
（3）当S取最大值时，将矩形ABCD向上平移1个单位（如图2），此时，若点Q在x轴上，且△QBM是以MB为腰的等腰三角形时，求Q点的坐标．

Answer

（1）当t=1时，AM=3×1=3，得到M点为AD的中点，则P点为DB的中点，即可得到P点坐标为（3，2）；
（2）延长MP交BC于H，由AM=3t，CN=t，得到BN=6-t，BH=3t，利用△BHP∽△BCD，通过相似比可求出PH=t，根据三角形的面积公式表示出S=-（t-3）2+（0≤t≤2），再根据二次函数的性质得到当t=2时，S最大，最大值为4；
（3）根据题意得到点M与D点重合，D点坐标为（0，2），B点坐标为（6，4），A点坐标为（6，2），由勾股定理得到BM==2，△QBM是以MB为腰的等腰三角形时，讨论：MB=MQ；BM=BQ．延长BA交x轴于G点，连DG，则△MGB为等腰直角三角形，Q点在G点，即Q点的坐标为（6，0）；再利用勾股定理可求出Q′G，从而得到OQ′，即可得到Q′的坐标．
【解析】
（1）当t=1时，AM=3×1=3，
∴M点为AD的中点，
∵MP⊥AD，
∴P点为DB的中点，
而A点坐标为（6，1），四边形ABCD为矩形，
∴D点坐标为（0，1），
又∵B点坐标为（6，3），
∴P点坐标为（3，2）；

（2）延长MP交BC于H，如图，
∵AM=3t，CN=t，
∴BN=6-t，BH=3t，
又∵PH∥CD，
∴△BHP∽△BCD，
∴=，即=，
∴PH=t，
∴S=•t（6-t）
=-（t-3）2+ （0≤t≤2）
∴当t=2时，S最大，最大值为4；

（3）当S取最大值时，将矩形ABCD向上平移1个单位，
∴点M与D点重合，D点坐标为（0，2），B点坐标为（6，4），A点坐标为（6，2），
∴BM==2，
延长BA交x轴于G点，连DG，如图，
∵AB=AG=2，即MA垂直平分BG，
∴△MGB为等腰直角三角形，
∴Q点在G点，即Q点的坐标为（6，0）；
当BQ′=BM，
∴Q′G==2，
∴OQ′=6-2或6+2
∴Q′的坐标为（6-2，0）或（6+2，0）
∴Q点的坐标为（6，0）或（6-2，0）或（6+2，0）．