Question

唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题--将军饮马问题：
如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河旁边的P点饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？
作法如下：如（1）图，从B出发向河岸引垂线，垂足为D，在AP的延长线上，取B关于河岸的对称点B′，连接AB′，与河岸线相交于P，则P点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到P，饮马之后，再由P沿直线走到B，所走的路程就是最短的．
（1）观察发现
再如（2）图，在等腰梯形ABCD中，AB=CD=AD=2，∠D=120°，点E、F是底边AD与BC的中点，连接EF，在线段EF上找一点P，使BP+AP最短．
作点B关于EF的对称点，恰好与点C重合，连接AC交EF于一点，则这点就是所求的点P，故BP+AP的最小值为______

Answer

（1）根据轴对称中最短路线问题，可以得出AC的长即为BP+AP的最小值，利用三角函数关系求出即可；
（2）根据轴对称中最短路线问题，得出BP′+AP′=BP′+A′P′=A′B，即A′B是BP+AP的最小值，求出即可；
（3）运用待定系数法求二次函数解析式，再求出直线与坐标轴的交点坐标，当AM+CM取最小值时，△ACM周长最小值，求出AM+CM最小值，即可得出．
【解析】
（1）∵在等腰梯形ABCD中，AB=CD=AD=2，∠D=120°，点E、F是底边AD与BC的中点，
∴∠DAC=∠DCA=30°，
∴∠ACB=30°，
∴∠BAC=90°，
∴tan∠ACB=，
∴AC==，
故答案为：2；

（2）如图，作点A关于MN的对称点A′，则A′在⊙O上，
连接BA′交MN于P′点，此时BP′+AP′最小．
由对称性可知AP′=A′P′，
∴BP′+AP′=BP′+A′P′=A′B，
连接OA、OB、OA′，
可知弧AN=弧A′N，
则∠NOA′=∠NOA=2∠M=60°，
而点B为弧AN中点，
∴∠BON=30°
∴∠BOA′=90°
而MN=1，
∴在Rt△OA′B中，A′B=
即BP+AP的最小值．

（3）①∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（-1，0）、
C（0，-3）两点，分别代入二次函数解析式得：
∴，
解得：a=1，b=-2，c=-3，
∴二次函数解析式为：y=x2-2x-3，
②得到直线BC：y=x-3，
∴M（1，-2），AC的长为：，
∴△ACM周长最小值即是：AM+CM最小时的值，
∵AM+CM=BC=3，
∴△ACM周长最小值为：．