Question

对于平面直角坐标系O中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在两个点M，N，使得∠MPN=60°，则称P为⊙C 的关联点。已知点D（，），E（0，-2），F（，0）

（1）当⊙O的半径为1时，

①在点O，D，E，F中，⊙O的关联点是______   ____；

②如果G（0，t）是⊙O的关联点，则t的取值范围是              ；

（2）如果线段EF上每一个点都是⊙O的关联点，那么⊙O的半径最小为        ；

（3）Rt⊿ABC中，∠C=90，BC=8,∠A=30，⊙P的半径为1，当点P运动时，始终确保⊿ABC的三条边中至少有一条边上恰好有唯一的⊙P的关联点。请你画出点P所走过的路线围成的图形的示意图，并在下面横线上直接写出它的总长。

答：点P经过的路线围成的图形的总长为                  。

Answer

（1）①O、D、E;②-2≤t≤2;（2） ;（3） .

【解析】

（1）①根据关联点的定义得出E点是 O的关联点，进而得出F、D，与 O的关系；

②根据题意可知G（0，t）是⊙O的关联点，计算出t的取值范围即可；

（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，则这个圆的圆心应在线段EF的中点；再考虑临界情况，即恰好E、F点为 K的关联时，则KF=2KN=EF=2，即可得出圆的半径r的取值范围，即可得出结论．

（3）根据题意与周长公式列出等式即可得出结论.

(1)① O、D、E

② -2≦t≦2

根据关联点的定义得出E点是 O的关联点，根据题意可知G（0，t）是⊙O的关联点，所以t的范围是-2≦t≦2．

（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，则这个圆的圆心应在线段EF的中点；再考虑临界情况，即恰好E、F点为 K的关联时，则KF=2KN=EF=2，即可得出圆的半径r的取值范围，.

（3）点P经过的路线围成的图形的总长为.