Question

如图，已知AB为⊙O的直径，AD，BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD，BA，CD的延长线相交于点E．

（1）求证：DC是⊙O的切线；

（2）若⊙O半径为4，∠OCE=30°，求△OCE的面积．

Answer

(1)详见解析；（2）16.

【解析】

（1）首先连接OD，易证得△COD≌△COB（SAS），然后由全等三角形的对应角相等，求得∠CDO=90°，即可证得直线CD是⊙O的切线；

（2）设⊙O的半径为R，则OE=R+1，在Rt△ODE中，利用勾股定理列出方程，求解即可．

（1）证明：连接DO，如图，

∵AD∥OC，

∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD，

又∵OA=OD，

∴∠DAO=∠ADO，

∴∠COD=∠COB．

在△COD和△COB中

,

∴△COD≌△COB（SAS），

∴∠CDO=∠CBO．

∵BC是⊙O的切线，

∴∠CBO=90°，

∴∠CDO=90°，

∴OD⊥CE，

又∵点D在⊙O上，

∴CD是⊙O的切线；

（2）【解析】
由（1）可知∠OCB=∠OCD=30°，

∴∠DCB=60°，

又BC⊥BE，

∴∠E=30°，

在Rt△ODE中，∵tan∠E=，

∴DE==4，

同理DC=OD=4，

∴S△OCE=•OD•CE=×4×8=16．