Question

如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；

（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值．

Answer

（1） ，顶点D的坐标为 (， －)；（2）△ABC是直角三角形；（3）．

【解析】

试题（1）把点A代入函数解析式即可求得b值，可得抛物线的解析式，根据解析式直接求得顶点D的坐标即可；（2）由函数解析式可以求得其与x轴、y轴的交点坐标，即可求得AB、BC、AC的长，由勾股定理的逆定理可得三角形的形状；（3）先求得C关于x轴的对称点C′，求得直线C′D的解析式，与x轴的交点的横坐标即是m的值．

试题解析：（1）∵点A（-1，0）在抛物线y=

x2+bx-2上，

∴×（-1）2+b×（-1）-2=0，

解得，b=-

∴抛物线的解析式为y=x2-x-2

y=x2-x-2=（x2-3x-4）=（x-）2-，

∴顶点D的坐标为（，-）．

（2）当x=0时y=-2，

∴C（0，-2），OC=2．

当y=0时，

x2-x-2=0，

∴x1=-1，x2=4，

∴B（4，0）．

∴OA=1，OB=4，AB=5．

∵AB2=25，AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，

∴AC2+BC2=AB2．

∴△ABC是直角三角形．

作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小．

设直线C′D的解析式为y=kx+n，

则，

解得n=2，k=-．

∴y=-x+2．

∴当y=0时，-x+2=0，x=．

∴m=．