Question

已知关于x的一元二次方程x²+（2m+1）x+m²﹣2＝0．

（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；

（2）若方程的两个实数根为x₁，x₂，且（x₁﹣x₂）²+m²＝21，求m的值．

Answer

(1)-2;(2)2.

【解析】

（1）利用判别式的意义得到△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，然后解不等式得到m的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；

（2）利用根与系数的关系得到x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣2，再利用（x1﹣x2）2+m2＝21得到（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2＝21，接着解关于m的方程，然后利用（1）中m的范围确定m的值．

（1）根据题意得△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，

解得m≥﹣，

所以m的最小整数值为﹣2；

（2）根据题意得x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣2，

∵（x1﹣x2）2+m2＝21，

∴（x1+x2）2﹣4x1x2+m2＝21，

∴（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2＝21，

整理得m2+4m﹣12＝0，解得m1＝2，m2＝﹣6，

∵m≥﹣，

∴m的值为2．