Question

如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法：①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的垂直平分线上；④S_△DAC：S_△ABC＝1：3.其中正确的是__________________．(填所有正确说法的序号)

Answer

4

【解析】

①连接NP，MP，根据SSS定理可得△ANP≌△AMP，故可得出结论；

②先根据三角形内角和定理求出∠CAB的度数，再由AD是∠BAC的平分线得出∠1=∠2=30°，根据直角三角形的性质可知∠ADC=60°；

③根据∠1=∠B可知AD=BD，故可得出结论；

④先根据直角三角形的性质得出∠2=30°，CD=AD，再由三角形的面积公式即可得出结论．

①连接NP，MP．在△ANP与△AMP中，∵，∴△ANP≌△AMP，则∠CAD=∠BAD，故AD是∠BAC的平分线，故此选项正确；

②∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°．

∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2=∠CAB=30°，∴∠3=90°﹣∠2=60°，∴∠ADC=60°，故此选项正确；

③∵∠1=∠B=30°，∴AD=BD，∴点D在AB的中垂线上，故此选项正确；

④∵在Rt△ACD中，∠2=30°，∴CD=AD，∴BC=BD+CD=AD+AD=AD，S△DAC=AC•CD=AC•AD，∴S△ABC=AC•BC=AC•AD=AC•AD，∴S△DAC：S△ABC=1：3，故此选项正确．

故答案为：①②③④．