Question

如图，为的切线，为切点，直线交于点、，过点作的垂线，垂足为点，交于点，延长与交于点，连接，.

（1）求证：直线为的切线；

（2）试探究线段、、之间的等量关系，并加以证明；

（3）若，，求的值和线段的长.

Answer

(1)见解析;(2)见解析;(3).

【解析】

（1）连接OB，根据垂径定理的知识，得出OA=OB，∠POA=∠POB，继而证明△PAO≌△PBO，然后利用全等三角形的性质结合切线的判定定理即可得出结论．

（2）先证明△OAD∽△OPA，利用相似三角形的性质得出OA与OD、OP的关系，然后将EF=20A代入关系式即可．

（3）根据题意可确定OD是△ABC的中位线，设AD=x，然后利用三角函数的知识表示出FD、OA，在Rt△AOD中，利用勾股定理解出x的值，继而能求出cos∠ACB，再由（2）可得OA2=OD•OP，代入数据即可得出PE的长．

（1）连接OB，

∵PB是⊙O的切线，

∴∠PBO=90°，

∵OA=OB，BA⊥PO于D，

∴AD=BD，∠POA=∠POB，

又∵PO=PO，

∴△PAO≌△PBO（SAS），

∴∠PAO=∠PBO=90°，

∴OA⊥PA，

∴直线PA为⊙O的切线．

（2）EF2=4OD•OP．

证明：∵∠PAO=∠PDA=90°

∴∠OAD+∠AOD=90°，∠OPA+∠AOP=90°，

∴∠OAD=∠OPA，

∴△OAD∽△OPA，

∴，即OA2=OD•OP，

又∵EF=2OA，

∴EF2=4OD•OP．

（3）∵OA=OC，AD=BD，BC=6，

∴OD=BC=3（三角形中位线定理），

设AD=x，

∵tan∠F=，

∴FD=2x，OA=OF=2x-3，

在Rt△AOD中，由勾股定理，得（2x-3）2=x2+32，

解之得，x1=4，x2=0（不合题意，舍去），

∴AD=4，OA=2x-3=5，

∵AC是⊙O直径，

∴∠ABC=90°，

又∵AC=2OA=10，BC=6，

∴cos∠ACB=．

∵OA2=OD•OP，

∴3（PE+5）=25，

∴PE=．