Question

如图，AB为⊙O直径，过⊙O外的点D作DE⊥OA于点E，射线DC切⊙O于点C、交AB的延长线于点P，连接AC交DE于点F，作CH⊥AB于点H．

（1）求证：∠D=2∠A；

（2）若HB=2，cosD=，请求出AC的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）AC=4.

【解析】

（1）连接，根据切线的性质得到，根据垂直的定义得到，得到，然后根据圆周角定理证明即可；

（2）设的半径为，根据余弦的定义、勾股定理计算即可．

（1）连接．

∵射线切于点，．

，，，，，由圆周角定理得：，；

（2）由（1）可知：，，，，，设的半径为，则，在中，，，，∴由勾股定理可知：，．

在中，，由勾股定理可知：．