Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²﹣4ax+3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（A在B的左侧）．

（1）求抛物线的对称轴及点A，B的坐标；

（2）点C（t，3）是抛物线y=ax²﹣4ax+3a（a＞0）上一点，（点C在对称轴的右侧），过点C作x轴的垂线，垂足为点D．

①当CD=AD时，求此时抛物线的表达式；

②当CD＞AD时，求t的取值范围．

Answer

(1) A（1，0），B（3，0）;(2) ①y=x2﹣4x+3；②3＜t＜4.

【解析】（1）令函数值为0得到ax2-4ax+3a=0，然后解方程可得到A点和B点坐标；利用抛物线的对称轴方程确定抛物线的对称轴；

（2）①利用点C的坐标得到CD=3，OA=t，则AD=t-1，根据题意得到t-1=3，解方程求出t得到C（4，3），然后把C点坐标代入y=ax2-4ax+3a中求出a即可得到抛物线解析式；

②利用CD>AD得到3>t-1，再利用点C在B点的右侧得到t >3，从而可确定t的范围．

（1）当y=0时，ax2﹣4ax+3a=0，即x2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3，

∴A（1，0），B（3，0），

抛物线的对称轴为直线x=﹣=2；

（2）①∵CD⊥x轴，

∴CD=3，OD=t，

∴AD=t﹣1，

而CD=AD，

∴t﹣1=3，解得t=4，

∴C（4，3），

把C（4，3）代入y=ax2﹣4ax+3a得16a﹣16a+3a=3，解得a=1，

∴此时抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；

②∵CD＞AD，

∴3＞t﹣1，

∴t＜4，

而点C在点B的右侧，

∴t＞3，

∴t的范围为3＜t＜4．