Question

点P、Q分别是边长为4cm的等边的边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是，设运动时间为t秒．

连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，变化吗：若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；

连接PQ，

当秒时，判断的形状，并说明理由；

当时，则______秒直接写出结果

Answer

（1）在P、Q运动的过程中，∠CMQ不变，∠CMQ=60°；（2）①△BPQ是等边三角形；②.

【解析】

（1）先证明△ABQ≌△CAP，得到∠BAQ=∠ACP，根据∠BAQ+∠QAC=60°，然后利用三角形外角的性质即可得出结论；

（2）①当t=2秒时，AP=BQ=2，PB=4﹣2=2，可知△BPQ是等边三角形；

②当PQ⊥BC时，∠B=60°，根据直角三角形30°所对直角边等于斜边一半的性质列等量关系，即可求出时间t.

（1）∵△ABC为等边三角形，

∴AB=AC，∠B=∠PAC=60°，

∵点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，

∴AP=BQ，

在△APC和△BQA中

，

∴△APC≌△BQA（SAS），

∴∠BAQ=∠ACP，

∴∠CMQ=∠CAQ+∠ACP=∠BAQ+∠CAQ=∠BAC=60°，

∴在P、Q运动的过程中，∠CMQ不变，∠CMQ=60°；

故答案为：在P、Q运动的过程中，∠CMQ不变，∠CMQ=60°.

（2）①∵运动时间为ts，则AP=BQ=t，

∴PB=4﹣t，

当t=2秒时，AP=BQ=2，PB=4﹣2=2，∴AP=BQ=PB，

∴△BPQ是等边三角形；

故答案为：△BPQ是等边三角形.

②∵运动时间为ts，则AP=BQ=t，∴PB=4﹣t，

∵PQ⊥BC，∴∠PQB=90°，

∵∠B=60°，∴PB=2BQ，

∴4﹣t=2t，解得t=，

故答案为：t=.