Question

如图，在直角坐标系中，直线与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，点，点E在第一象限，为等边三角形，连接AE，BE

求点E的坐标；

当BE所在的直线将的面积分为3：1时，求的面积；

取线段AB的中点P，连接PE，OP，当是以OE为腰的等腰三角形时，则______直接写出b的值

Answer

（1）；（2）；（3）或

【解析】

根据等边三角形的性质可得高线EC的长，可得E的坐标；

如图2，当BE所在的直线将的面积分为3：1时，存在两种情况：如图2，：：1，即OD：：1，：：3，即OD：：3，先确认DE的解析式，可得OA和OB的长，根据面积差可得结论；

存在两种情况：如图3，，作辅助线，构建矩形和高线ED和EM，根据三角形AOB面积的两种求法列等式可得b的值，如图4，，根据等腰三角形和等边三角形的性质可得b的值.

【解析】
如图1，过E作轴于C，

点，

，

为等边三角形，

，

中，，

，

，

；

当BE所在的直线将的面积分为3：1时，存在两种情况：

如图2，：：1，即OD：：1，

，

，

的解析式为：，

，，

，

；

：：3，即OD：：3，

，

，

的解析式为：，

，

点B在y轴正半轴上，

此种情况不符合题意；

综上，的面积是；

存在两种情况：

如图3，，过E作轴于D，作于M，作于G，

是等腰直角三角形，P是AB的中点，

，

，

四边形EGPM是矩形，

，

，

，

，

．

如图4，当时，则，

是等腰直角三角形，P是AB的中点，

，

，即，

故答案为：或．