Question

在矩形ABCD中，，，以点A为旋转中心，逆时针旋转矩形ABCD，旋转角为，得到矩形AEFG，点B、点C、点D的对应点分别为点E、点F、点G．

如图，当点E落在DC边上时，直写出线段EC的长度为______；

如图，当点E落在线段CF上时，AE与DC相交于点H，连接AC，

求证：≌；

直接写出线段DH的长度为______．

如图设点P为边FG的中点，连接PB，PE，在矩形ABCD旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在请直接写出这个最大值；若不存在请说明理由．

Answer

（1）；（2）见解析；；（3）存在，的面积的最大值为理由见解析

【解析】

如图中，在中，利用勾股定理即可解决问题；

证明：如图中，根据HL即可证明≌；

如图中，由≌，推出，推出，设，在中，根据，构建方程即可解决问题；

存在如图中，连接PA，作交PE的延长线于由题意：，由，，推出，推出，推出当BM的值最大时，的面积最大，求出BM的最大值即可解决问题；

四边形ABCD是矩形，

，，，

矩形AEFG是由矩形ABCD旋转得到，

，

在中，，

，

故答案为：．

当点E落在线段CF上，

，

在和中，

，

≌；

≌，

，

，设，

在中，，

，

，

，

故答案为：；

存在．理由如下：

如图中，连接PA，作交PE的延长线于M，

由题意：，

，，

，

，

当BM的值最大时，的面积最大，

，，

，

，

的最大值为，

的面积的最大值为．