Question

已知：点A在射线CE上，∠C＝∠D．

⑴如图1，若AD∥BC，求证：BD∥AC；

⑵如图2，若∠BAC＝∠BAD，BD⊥BC，请探究∠DAE与∠C的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明；

⑶如图3，在⑵的条件下，过点D作DF∥BC交射线于点F，当∠DFE＝8∠DAE时，求∠BAD的度数．

Answer

(1)见解析；（2）∠DAE+2∠C=90º ；（3）99°

【解析】

（1）根据AC∥BD，可得∠DAE=∠D，再根据∠C=∠D，即可得到∠DAE=∠C，进而判定AD∥BC；
（2）根据∠CGB是△ADG是外角，即可得到∠CGB=∠D+∠DAE，再根据△BCG中，∠CGB+∠C=90°，即可得到∠D+∠DAE+∠C=90°，进而得出2∠C+∠DAE=90°；
（3）设∠DAE=α，则∠DFE=8α，∠AFD=180°-8α，根据DF∥BC，即可得到∠C=∠AFD=180°-8α，再根据2∠C+∠DAE=90°，即可得到2（180°-8α）+α=90°，求得α的值，即可运用三角形内角和定理得到∠BAD的度数．

【解析】
（1）∵AC∥BD，

∴∠DAE=∠D，

又∵∠C=∠D，

∴∠DAE=∠C，

∴AD∥BC；

（2）∠EAD+2∠C=90°．

证明：设CE与BD交点为G，

∵∠CGB是△ADG是外角，

∴∠CGB=∠D+∠DAE，

∵BD⊥BC，

∴∠CBD=90°，

∴△BCG中，∠CGB+∠C=90°，

∴∠D+∠DAE+∠C=90°，

又∵∠D=∠C，

∴2∠C+∠DAE=90°；

（3）设∠DAE=α，则∠DFE=8α，

∵∠DFE+∠AFD=180°，

∴∠AFD=180°﹣8α，

∵DF∥BC，

∴∠C=∠AFD=180°﹣8α，

又∵2∠C+∠DAE=90°，

∴2（180°﹣8α）+α=90°，

∴α=18°，

∴∠C=180°﹣8α=36°=∠ADB，

又∵∠C=∠BDA，∠BAC=∠BAD，

∴∠ABC=∠ABD=∠CBD=45°，

∴△ABD中，∠BAD=180°﹣45°﹣36°=99°．