Question

如图，△ABC内接于⊙O且AB=AC，延长BC至点D，使CD=CA，连接AD交⊙O于点E，连接BE、CE．

（1）求证：△ABE≌△CDE；

（2）填空：

①当∠ABC的度数为______时，四边形AOCE是菱形；

②若AE=6，EF=4，DE的长为______．

Answer

（1）证明见解析（2）①60°；②9

【解析】

（1）根据AAS证明两三角形全等；

（2）①先证明∠AOC＝∠AEC＝120°，∠OAE＝∠OCE＝60°，可得▱AOCE，由OA＝OC可得结论；②证明△AEF∽△DEC，然后依据相似三角形的性质列比例式求解即可．

（1）∵AB=AC，CD=CA，

∴∠ABC=∠ACB，AB=CD，

∵四边形ABCE是圆内接四边形，

∴∠ECD=∠BAE，∠CED=∠ABC，

∵∠ABC=∠ACB=∠AEB，

∴∠CED=∠AEB，

∴△ABE≌△CDE（AAS）；

（2）①当∠ABC的度数为60°时，四边形AOCE是菱形；

理由是：连接AO、OC，

∵四边形ABCE是圆内接四边形，

∴∠ABC+∠AEC=180°，

∵∠ABC=60，

∴∠AEC=120°=∠AOC，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA=30°，

∵AB=AC，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠ACB=60°，

∵∠ACB=∠CAD+∠D，

∵AC=CD，

∴∠CAD=∠D=30°，

∴∠ACE=180°﹣120°﹣30°=30°，

∴∠OAE=∠OCE=60°，

∴四边形AOCE是平行四边形，

∵OA=OC，

∴▱AOCE是菱形；

②∵△ABE≌△CDE，

∴AE=CE=5，BE=ED，

∴∠ABE=∠CBE，∠CBE=∠D，

又∵∠EAC=∠CBE，

∴∠EAC=∠D．

又∵∠CED=∠AEB，

∴△AEF∽△DEC，

∴，即，解得DE=9．

故答案为：①60°；②9．