Question

如图，点在直线上，点的坐标分别是，连接，将沿射线方向平移，使点O移动到点M，得到（点分别对应点）.

（1）填空：m的值为_____________，点C的坐标是______________；

（2）在射线上是否存在一点N，使，如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）连接，点P是射线上一动点，请直接写出使是等腰三角形时点P的坐标.

Answer

（1）；（2）或；（3）(,)或(,) 或（0，0）或(,) 或(,).

【解析】

（1）当x=2时，y=2x=4，故：m=4，则点M的坐标为（2，4），由平移，可知：CM=AO=4，即可求解；
（2）存在，理由：分当NC在直线MC下方、上方，两种情况分别求解即可；
（3）分AD=AP、AD=PD、AP=PD三种情况，分别求解即可．

【解析】
（1）当x=2时，y=2x=4，
∴m=4，∴点M的坐标为（2，4），
由平移，可知：CM=AO=4，
∴点C的坐标为（6，4），则点D（2，6）．
故答案为：4；（6，4）．
（2）存在，理由：
①当NC在直线MC下方时，

直线OM的表达式为：y=2x…①，
则tan∠MOB=,

∠NCM=∠BOM，则tan∠NCM=,

设直线NC的表达式为：y=

将点C的坐标代入上式并解得：b=1，
则直线NC的表达式为：y=

将①②联立并求解得：x=,

则点N(,) ;

②当NC在直线MC上方时，
同理可得：点N′(,);

故点N(,) 或(,);

（3）设点P（x，2x），点D（2，6），点A（4，0），
则AD2=4+36=40，AP2=（x-4）2+4x2=5x2-8x+16，PD2=（x-2）2+（2x-6）2=5x2-28x+40，
①当AD=AP时，40=5x2-8x+16，解得：x=,

②当AD=PD时，同理可得：x=0或,

③当AP=PD时，同理可得：x=,

故点P坐标为(,)或(,) 或（0，0）或(,) 或(,).