Question

如图，抛物线与x轴分别交于点，与y轴交于点C，顶点为D.

（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；

（2）动点以相同的速度从点O同时出发，分别在线段上向点方向运动，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点E.

①当四边形为矩形时，求点E的坐标；

②过点E作于点M，连接.设的面积为，的面积为，当将的面积分成1:3两部分时，请直接写出的值；

③连接，请直接写出的最小值.

Answer

（1）；；（2）①；②15或；③

【解析】

（1）将点A、B代入抛物线解析式即可，则点D坐标可求．
（2）①四边形为矩形，可分析出OQ=PE，设点坐标表示线段长度列式求解即可．
②PE分三角形的面积之比为1：3，可分析出PE分线段BC为1：3，分两种情况讨论，分别求出S1和S2，则比值可求．
③转化线段CP为线段BQ，作点D关于y轴的对称点，连接BD′，与y轴的交点即为点Q，求出BD′的长度就是CP+DQ的最小值．

【解析】
（1）将点A、B代入解析式

解得,

∴y=-x-4

当x=1时，y=-,

∴D（1，-）.

（2）①设点E的坐标为（m， -m-4），则点P（m，0），点Q（0，-m），

∵四边形OQEP为矩形，

∴OQ=EP，

∴m=-+m+4，

解得=-2（舍去），m2=2.

∴E（2, -2

②令x=0，y=-4，

∴C（0，-4），

∵PE将△BCE的面积分成1：3两部分，

∴PE将线段BC分成1：3两部分，

情况一：当PE过靠近点C的四等分点时，点P的坐标为（1，0），点E（1，-），

∴点Q（0，-1），

直线BC的解析式为y=x-4，

当x=1时，y=-3，

∴点G（1，-3），

如图1所示，

∴GD=,

∵∠CGD=∠OBC=45°，
∴xM=1-,

∴M（）,

∴S1=3••=, S2=3••=,

∴=15.

情况二：当PE过靠近点B的四等分点时，点P（3，0），点Q（0，-3），点E（3，-），点G（3，-1）,

∴EG=,

∴xM=3-,

∴M（,-）,

∴S1=1••=, S2=1••=,

∴=,

综上所述：=15或=.

③如图2所示，

∵OP=OQ，∠BOQ=∠COP，OB=OC，
∴△BOQ≌△COP（SAS），
∴CP=BQ，
∴CP+DQ=BQ+DQ，
作点D关于y轴的对称点D′（-1，-），
连接BD′，与y轴的交点即为点Q，

BD′==.

∴CP+DQ的最小值为.