Question

在中，射线平分交于点，点在边上运动（不与点重合），过点作交于点.

（1）如图1，点在线段上运动时，平分.

①若，，则_____；若，则_____；

②试探究与之间的数量关系？请说明理由；

（2）点在线段上运动时，的角平分线所在直线与射线交于点.试探究与之间的数量关系，并说明理由.

Answer

（1）①115°，110°；②，证明见解析；（2），证明见解析.

【解析】

（1）①根据角平分线的定义求得∠CAG=∠BAC=50°；再由平行线的性质可得∠EDG=∠C=30°，∠FMD=∠GAC=50°；由三角形的内角和定理求得∠AFD的度数即可；已知AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，根据角平分线的定义可得∠CAG=∠BAC，∠FDM=∠EDG；由DE//AC，根据平行线的性质可得∠EDG=∠C，∠FMD=∠GAC；即可得∠FDM +∠FMD=∠EDG +∠GAC=∠C+∠BAC=（∠BAC+∠C）=×140°=70°；再由三角形的内角和定理可求得∠AFD=110°；②∠AFD=90°+∠B，已知AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，根据角平分线的定义可得∠CAG=∠BAC，∠FDM=∠EDG；由DE//AC，根据平行线的性质可得∠EDG=∠C，∠FMD=∠GAC；由此可得∠FDM +∠FMD=∠EDG +∠GAC=∠C+∠BAC=（∠BAC+∠C）=×（180°-∠B）=90°-∠B；再由三角形的内角和定理可得∠AFD=90°+∠B；（2）∠AFD=90°-∠B，已知AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，根据角平分线的定义可得∠CAG=∠BAC，∠NDE=∠EDB，即可得∠FDM=∠NDE=∠EDB；由DE//AC，根据平行线的性质可得∠EDB=∠C，∠FMD=∠GAC；即可得到∠FDM=∠NDE=∠C，所以∠FDM +∠FMD =∠C+∠BAC=（∠BAC+∠C）=×（180°-∠B）=90°-∠B；再由三角形外角的性质可得∠AFD=∠FDM +∠FMD=90°-∠B.

（1）①∵AG平分∠BAC，∠BAC=100°，

∴∠CAG=∠BAC=50°；

∵，∠C=30°，

∴∠EDG=∠C=30°，∠FMD=∠GAC=50°；

∵DF平分∠EDB，

∴∠FDM=∠EDG=15°；

∴∠AFD=180°-∠FMD-∠FDM=180°-50°-15°=115°；

∵∠B=40°，

∴∠BAC+∠C=180°-∠B=140°；

∵AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，

∴∠CAG=∠BAC，∠FDM=∠EDG，

∵DE//AC，

∴∠EDG=∠C，∠FMD=∠GAC；

∴∠FDM +∠FMD=∠EDG +∠GAC=∠C+∠BAC=（∠BAC+∠C）=×140°=70°；

∴∠AFD=180°-（∠FDM +∠FMD）=180°-70°=110°；

故答案为：115°，110°；

②∠AFD=90°+∠B，理由如下：

∵AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，

∴∠CAG=∠BAC，∠FDM=∠EDG，

∵DE//AC，

∴∠EDG=∠C，∠FMD=∠GAC；

∴∠FDM +∠FMD=∠EDG +∠GAC=∠C+∠BAC=（∠BAC+∠C）=×（180°-∠B）=90°-∠B；

∴∠AFD=180°-（∠FDM +∠FMD）=180°-（90°-∠B）=90°+∠B；

（2）∠AFD=90°-∠B，理由如下：

如图，射线ED交AG于点M，

∵AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，

∴∠CAG=∠BAC，∠NDE=∠EDB，

∴∠FDM=∠NDE=∠EDB，

∵DE//AC，

∴∠EDB=∠C，∠FMD=∠GAC；

∴∠FDM=∠NDE=∠C，

∴∠FDM +∠FMD =∠C+∠BAC=（∠BAC+∠C）=×（180°-∠B）=90°-∠B；

∴∠AFD=∠FDM +∠FMD=90°-∠B.