Question

如图，半径为3的⊙O经过等边△ABO的顶点A、B，点P为半径OB上的动点，连接AP，过点P作PC⊥AP交⊙O于点C，当∠ACP=30°时，AP的长为（　　）

A. 3 B. 3或 C.  D. 3或

Answer

B

【解析】

分三种情况讨论：①当P在线段OB上，不含端点时；②当点P与点B重合时；③当P与O重合时．分别画出图形，计算即可．

分三种情况讨论：①当P在线段OB上，不含端点时，如图1．

∵△OAB是等边三角形，OB为半径，PC⊥AP，∴C为直线OB与⊙O的另一个交点，∴CB为⊙O的直径，∴CB=6．

∵OA=AB，AP⊥OB，∴OP=PB=OB=1.5，∴CP=CO+OP=3+1.5=4.5．

∵∠ACP=30°，∴PC=AP，∴AP=．

②当点P与点B重合时，如图2，则∠APC=∠ABC=90°，∴AC为直径．

∵∠ACP=30°，∴∠AOB=60°，符合已知条件，∴AP=AB=3．

③当P与O重合时，如图3．

∵AP⊥CP，∴∠CPA=∠COA=90°．

∵CO=AO=CP=AP，∴△APC是等腰直角三角形，∴∠ACP=45°，与已知∠ACP=30°矛盾，∴这种情况不成立．

综上所述：AP=3或．

故选B．