Question

如图，△ABC是等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，∠BAD＝90°，AE⊥BD与点E，连CD分别交AE、AB于点F、G，过点A作AH⊥CD交BD于点H，则下列结论：①∠ADC＝15°；②AF＝AG；③△ADF≌△BAH；④ DF＝2EH，其中正确结论的个数为（       ）

A.4 B.3 C.2 D.1

Answer

B

【解析】

①由等边三角形与等腰直角三角形知△CAD是等腰三角形且顶角∠CAD＝150°，据此可判断；②求出∠AFP和∠FAG度数，从而得出∠AGF度数，据此可判断；③根据ASA证明△ADF≌△BAH即可判断③④正确；⑤由∠BAE＝45°，∠ADC＝∠BAH＝15°，则∠EAH＝30°，DF＝2EH即可得出．

∵△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形，

∴∠BAC＝60°、∠BAD＝90°、AC＝AB＝AD，∠ADB＝∠ABD＝45°，

∴△CAD是等腰三角形，且顶角∠CAD＝150°，

∴∠ADC＝15°，故①正确；

∵AE⊥BD，即∠AED＝90°，

∴∠DAE＝45°，

∴∠AFG＝∠ADC＋∠DAE＝60°，∠FAG＝45°，

∴∠AGF＝75°，

由∠AFG≠∠AGF知AF≠AG，故②错误；

记AH与CD的交点为P，

由AH⊥CD且∠AFG＝60°知∠FAP＝30°，

则∠BAH＝∠ADC＝15°，

在△ADF和△BAH中，

∵，

∴△ADF≌△BAH（ASA），

∴DF＝AH，故③④正确；

∵∠ABE＝∠EAB＝45°，∠ADF＝∠BAH＝15°，

∴∠EAH＝∠EAB−∠BAH＝45°−15°＝30°，

∴AH＝2EH，

∴DF＝2EH．

故⑤正确．

故选：B．