Question

在正方形ABCD中，P是BC上一点，且BP＝3PC，Q是CD的中点．

（1）求证：△ADQ∽△QCP；

（2）若PQ＝3，求AP的长．

Answer

（1）见解析；（2）3

【解析】

（1）在所要求证的两个三角形中，已知的等量条件为：∠D＝∠C＝90°，若证明两三角形相似，可证两个三角形的对应直角边成比例；

（2）证明AQ＝2PQ，AQ⊥PQ即可解决问题．

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝CD，∠C＝∠D＝90°；

又∵Q是CD中点，

∴CQ＝DQ＝AD；

∵BP＝3PC，

∴CP＝AD，

∴＝＝，

又∵∠C＝∠D＝90°，

∴△ADQ∽△QCP；

（2）由（1）知，△ADQ∽△QCP，＝＝，

∴AQ＝2PQ，

∵PQ＝3，

∴AQ＝6，

∵△ADQ∽△QCP，

∴∠AQD＝∠QPC，∠DAQ＝∠PQC，

∴∠PQC+∠DQA＝DAQ+AQD＝90°，

∴AQ⊥QP，

∴∠AQP＝90°，

∴PA＝＝3．