Question

如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点P以每秒1个单位的速度从A向C运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从B向A方向运动，Q到达A点后，P点也停止运动，设点P，Q运动的时间为t秒．

（1）求P点停止运动时，BP的长；

（2）P，Q两点在运动过程中，点E是Q点关于直线AC的对称点，是否存在时间t，使四边形PQCE为菱形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

（3）P，Q两点在运动过程中，求使△APQ与△ABC相似的时间t的值．

Answer

（1）；（2）存在，t＝s时，四边形PQCE是菱形；（3）t的值为s或s时△APQ与△ABC相似

【解析】

（1）求出点Q的从B到A的运动时间，再求出AP的长，利用勾股定理即可解决问题．

（2）如图1中，当四边形PQCE是菱形时，连接QE交AC于K，作QD⊥BC于D．根据DQ＝CK，构建方程即可解决问题．

（3）分两种情形：如图3﹣1中，当∠APQ＝90°时，如图3﹣2中，当∠AQP＝90°时，分别构建方程即可解决问题．

【解析】
（1）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，

∴AB＝＝10，

点Q运动到点A时，t＝＝5，

∴AP＝5，PC＝1，

在Rt△PBC中，PB＝＝．

（2）如图1中，当四边形PQCE是菱形时，连接QE交AC于K，作QD⊥BC于D．

∵四边形PQCE是菱形，

∴PC⊥EQ，PK＝KC，

∵∠QKC＝∠QDC＝∠DCK＝90°，

∴四边形QDCK是矩形，

∴DQ＝CK，

∴•2t＝（6﹣t），

解得t＝．

∴t＝s时，四边形PQCE是菱形．

（3）如图3﹣1中，当∠APQ＝90°时，

∵∠APQ＝∠C＝90°，

∴PQ∥BC，

∴＝，

∴＝，

∴t＝．

如图3﹣2中，当∠AQP＝90°时，

∵△AQP∽△ACB，

∴＝，

∴＝，

∴t＝，

综上所述，t的值为s或s时△APQ与△ABC相似．