Question

（操作发现）如图（1），在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝45°，连接AC，BD交于点M．

①AC与BD之间的数量关系为　   　；

②∠AMB的度数为　   　；

（类比探究）如图（2），在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC，交BD的延长线于点M．请计算的值及∠AMB的度数；

（实际应用）如图（3），是一个由两个都含有30°角的大小不同的直角三角板ABC、DCE组成的图形，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠A＝∠D＝30°且D、E、B在同一直线上，CE＝1，BC＝ ，求点A、D之间的距离．

Answer

【操作发现】①AC=BD；②∠AMB=45°；【类比探究】，∠AMB=90°；【实际应用】4或5

【解析】

操作发现:如图（1），证明△COA≌△DOB（SAS），即可解决问题．

类比探究:如图（2），证明△COA∽△ODB，可得，∠MAK＝∠OBK，已解决可解决问题．

实际应用:分两种情形解直角三角形求出BE，再利用相似三角形的性质解决问题即可．

【解析】
操作发现:如图（1）中，设OA交BD于K．

∵∠AOB＝∠COD＝45°，

∴∠COA＝∠DOB，

∵OA＝OB，OC＝OD，

∴△COA≌△DOB（SAS），

∴AC＝DB，∠CAO＝∠DBO，

∵∠MKA＝∠BKO，

∴∠AMK＝∠BOK＝45°，

故答案为：AC＝BD，∠AMB＝45°

类比探究:如图（2）中，

在△OAB和△OCD中，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，

∴∠COA＝∠DOB，OC＝OD，OA＝OB，

∴，

∴△COA∽△ODB，

∴，∠MAK＝∠OBK，

∵∠AKM＝∠BKO，

∴∠AMK＝∠BOK＝90°．

实际应用:如图3﹣1中，作CH⊥BD于H，连接AD．

在Rt△DCE中，∵∠DCE＝90°，∠CDE＝30°，EC＝1，

∴∠CEH＝60°，

∵∠CHE＝90°，

∴∠HCE＝30°，

∴EH＝EC＝，

∴CH＝，

在Rt△BCH中，BH＝，

∴BE＝BH﹣EH＝4，

∵△DCA∽△ECB，

∴AD：BE＝CD：EC＝，

∴AD＝4．

如图3﹣2中，连接AD，作 CH⊥DE于H．

同法可得BH＝，EH＝，

∴BE＝+＝5，

∵△DCA∽△ECB，

∴AD：BE＝CD：EC＝，

∴AD＝5．