Question

 设函数，其图象对应的曲线设为G．

    （Ⅰ）设、、，为经过点（2，2）的曲线G的切线，求的方程；

    （Ⅱ）已知曲线G在点A、B处的切线的斜率分别为0、，求证：；

    （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当时，恒成立，求常数的最小值．

Answer

 （Ⅰ）由题设，∴，

    由于点（2，2）不在曲线G上，

    可设切点为，所求切线方程为，

    由，消去得，        

    ∴，或，即对应的切点为（0，0），或，

    当时，，，所求的切线方程为，  …………2分

    当时，，，所求切线方程为；…4分

    （Ⅱ）由已知，依题意有

    ，，即，

    从而、、三数中至少有一个正数一个负数，∴总有，，

    若，由有，

    ∴，∴，       

    又，∴，

    故得，从而，矛盾，

    ∴必有，∴ ，∴可得；     …………8分

    （Ⅲ）即，

    整理即得，设，则

    设为的函数，由条件（Ⅱ），

    欲不等式恒成立，即在时恒成立，

    ∴，∴，

    解得，或，       

    依题意，

    ∴，即所求的的最小值为．      …………14分

    本题综合考查曲线的概念、一次函数的性质、导数的几何意义、不等式的解法与证明，属难题．