Question

(本小题满分16分)如图,是椭圆的左、右顶点,椭圆的离心率为,右准线的方程为.

(1)求椭圆方程；

(2)设是椭圆上异于的一点,直线交于点,以为直径的圆记为.

①若恰好是椭圆的上顶点,求截直线所得的弦长;

②设与直线交于点,试证明:直线与轴的交点为定点,并求该定点的坐标.

Answer

(1) (2) ①②见解析

【解析】

试题分析：(1)由,解得,故所求椭圆的方程为…………………4分

   (2)①因为,所以直线的方程为,则点P的坐标为,

   从而的方程为,即其圆心为,半径为………… 6分

   又直线的方程为,故圆心到直线的距离为 ………8分

   从而截直线所得的弦长为……………10分

   ②证:设,则直线的方程为,则点P的坐标为,

   又直线的斜率为,而,所以,

   从而直线的方程为……………………………13分

   令,得点R的横坐标为………………………14分

   又点M在椭圆上,所以,即,故,

   所以直线与轴的交点为定点,且该定点的坐标为……………………16分

考点：椭圆性质，直线与圆椭圆的位置关系