在直角三角形
中,
是
边上的高,
,
,
分别为垂足,求证：
.
(本小题满分16分)
已知函数
,其中
.
（1）当
时,求函数
在
处的切线方程;
（2）若函数在区间(1,2)上不是单调函数,试求
的取值范围;
（3）已知
,如果存在
,使得函数
在
处取得最小值,试求
的最大值.
(本小题满分16分)
已知数列
是等差数列,数列
是等比数列,且对任意的
,都有
.
(1)若的首项为4,公比为2,求数列
的前
项和
;
(2)若
.
①求数列与的通项公式;
②试探究:数列
中是否存在某一项,它可以表示为该数列中其它
项的和？若存在,请求出该项；若不存在,请说明理由．
(本小题满分16分)如图,
是椭圆
的左、右顶点,椭圆
的离心率为
,右准线
的方程为
.
(1)求椭圆方程；
(2)设
是椭圆上异于的一点,直线
交于点
,以
为直径的圆记为
.
①若恰好是椭圆的上顶点,求截直线
所得的弦长;
②设与直线
交于点
,试证明:直线
与
轴的交点
为定点,并求该定点的坐标.
(本小题满分14分)如图,有三个生活小区(均可看成点)分别位于
三点处,
,
到线段
的距离
,
(参考数据: 
). 今计划建一个生活垃圾中转站
,为方便运输,准备建在线段
(不含端点)上.
（1）设
,试将到三个小区距离的最远者
表示为
的函数,并求的最小值；
（2）设
,试将到三个小区的距离之和
表示为
的函数,并确定当取何值时,可使最小?
(本小题满分14分)如图，在四面体
中,
,
是
的中点．
(1)求证:
平面
；
(2)设
为
的重心,
是线段
上一点,且
.求证:
平面.
