Question

已知S_n为数列{a_n}的前n项和，且S_n=2a_n+n²-3n-2，n=1，2，3…．
（Ⅰ）求证：数列{a_n-2n}为等比数列；
（Ⅱ）设b_n=a_n•cosnπ，求数列{b_n}的前n项和P_n；
（Ⅲ）设，数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：．

Answer

（1）根据Sn=2an+n2-3n-2可得到Sn+1的表达式Sn+1=2an+1+（n+1）2-3（n+1）-2，两式相减可得到an+1=2an-2n+2整理可得an+1-2（n+1）=2（an-2n），即数列{an-2n}为等比数列．
（2）先根据数列{an-2n}为等比数列求出an的表达式，再对n分奇偶数讨论可求出数列{bn}的前n项和Pn．
（3）将an的表达式代入到中求出数列{cn}的通项公式，进而可验证当n=1时满足，然后当n≥2时对进行放缩可得到Tn=得证．
【解析】
（Ⅰ）∵Sn=2an+n2-3n-2，
∴Sn+1=2an+1+（n+1）2-3（n+1）-2．
∴an+1=2an-2n+2，∴an+1-2（n+1）=2（an-2n）．
∴{an-2n}是以2为公比的等比数列；
（Ⅱ）a1=S1=2a1-4，∴a1=4，∴a1-2×1=4-2=2．
∴an-2n=2n，∴an=2n+2n．
当n为偶数时，Pn=b1+b2+b3+…+bn
=（b1+b3+…+bn-1）+（b2+b4+…+bn）
=-（2+2×1）-（23+2×3）-…-[2n-1+2（n-1）]+（22+2×2）+（24+2×4）+…+（2n+2×n）
=；
当n为奇数时，Pn=．
综上，；
（Ⅲ）．
当n=1时，T1=
当n≥2时，

===
综上可知：任意n∈N，．