Question

如图，多面体ABCD-EFG中，底面ABCD为正方形，GD∥FC∥AE，AE⊥平面ABCD，其正视图、俯视图如下：
（I）求证：平面AEF⊥平面BDG；
（II）若存在λ＞0使得=，二面角A-BG-K的大小为60°，求λ的值．

Answer

（I）求证：平面AEF⊥平面BDG，由面面垂直的判定定理，先证线面垂直，再证面面垂直．由图形知，可请AC⊥面BDG
（II）先假设其存在，作出相应瓣辅助线，表示出二面角，由二面角为为60°，建立关于λ的方程求求值．
【解析】
（I）连AC，BD，在正方形ABCD中，AC⊥BD，
又∵⇒
又AC⊂面ABCD，可得AC⊥GD，又AC⊥BD，GD，则AC⊥面BDG，
又由AE与FC共面，可得出平面AEF即平面AEFC，
又AC⊂面AEFC，故面AEFC⊥面BDG
（II）作KO⊥AG于0，OH⊥BG于H，连KH，由AE⊥面ABCD，得AE⊥AB，且正方形ABCD中，AD⊥AB，故有AB⊥面ADE，
又AE∥GD，得A，E，G，D共面，且KO⊂面ADE，可得出AB⊥KO，故可得出KO⊥面ABG，则OH是KH在平面ABG的射影，
又OH⊥BG且BG⊂平面ABG，可得出KH⊥BG，且OH⊥BG，则∠KHO是二面角A-BG-K的平面角，∠KHO=60°
由正视图知，AE=1，所以AK=λ，
又AD=GD=2，AE∥GD，AE⊥平面ABCD，可得出GD⊥面ABCD，进而推出GD⊥AD，故得∠DATG=∠KAG=45°，且AG=，由此可得出KO=，AO=，GO=AG=-AO=2，
作AH'⊥BG于H′，则AH'=
∴OH===，tan∠KHO==，
∴，
∴λ=2