Question

如图，四棱锥P-ABCD，PA⊥平面ABCD，且PA=4，底面ABCD为直角梯形，∠CDA=∠BAD=90°，AB=2，CD=1，，M、N分别为PD、PB的中点，平面MCN与PA的交点为Q
（Ⅰ）求PQ的长度；
（Ⅱ）求截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小；
（Ⅲ）求四棱锥A-MCNQ的体积．

Answer

（Ⅰ）设Q（0，0，h），由M，N，C，Q共面知：，即得到方程组进而求出h=1．即可得答案．
（Ⅱ）面ABCD的法向量为，再求出面MCN的法向量=，利用向量的有关运算求出向量的夹角，进而转化为二面角的平面角．
（Ⅲ）由题意可得：并且，得VA-MCNQ=3VA-CMQ，进而转化为VA-CMQ=VC-AMQ，所以即可得到答案．
【解析】
由题设知：以A为原点，AD、AB、AP所在线分别x、y、z轴如图示建立空间直角坐标系，
则有：，P（0，0，4），，N（0，1，2），设Q（0，0，h）
（Ⅰ）由M，N，C，Q共面知：
且x+y+z=1，于是有：即得h=3
故PQ=1
（Ⅱ）设面MCN，且，底面ABCD的法向量为
由知：即
取r=1得，于是有
所以截面MCN与底面ABCD所成二面角为60．

（Ⅲ）由（Ⅰ）知：，
于是，得VA-MCNQ=3VA-CMQ
由∠CDA=∠BAD=90°知CD⊥面PAD，VA-CMQ=VC-AMQ
由知：．