Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=r（r＞0）且a_n+2=qa_n（q＞0，q≠1），又设b_n=a_2n-1-a_2n（n=1，2，3，…）
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项b_n及前n项和S_n；
（Ⅱ）假设对任意n＞1都有S_n＞b_n，求r的取值范围．

Answer

（1）由题意可得 bn=a2n-1-a2n =qa2n-3-qa2n-2 =q（a2n-3-a2n-2）=qbn-1，故数列{bn}是以q为公比的等比数列，b1=a1-a2=1-r，由此求得数列{bn}的通项bn及前n项和Sn ．
（2）由于 对任意n＞1都有Sn＞bn，故 s2＞b2，化简可得 （1-r）（1+q）＞q（1-r）．再由 1+q＞q＞0，可得 1-r＞0，再结合条件求得r的取值范围．
【解析】
（1）由题意可得 bn=a2n-1-a2n =qa2n-3-qa2n-2 =q（a2n-3-a2n-2）=qbn-1，
故数列{bn}是以q为公比的等比数列，b1=a1-a2=1-r，
∴，
由等比数列前n项和公式求得 ．
（2）∵对任意n＞1都有Sn＞bn，
∴s2＞b2，即＞qn-1（1-r），即 （1-r）（1+q）＞q（1-r）．
再由 1+q＞q＞0，可得 1-r＞0，∴r＜1．
又r＞0，∴1＞r＞0，即 r∈（0，1），
故r的取值范围为 （0，1）．