Question

已知，且f（x）=．
（I）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若（a+2c）cosB=-bcosA成立，求f（A）的取值范围．

Answer

（I）利用两个向量的数量积公式化简f（x）的解析式为 2sin（2x+）+1，从而求得它的周期．再由
2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，求出x的范围，即可得到函数的单调递增区间．
（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得 cosB=-，B= 得到 f（A）=2sin（2A+）+1，根据A的范围，
求出 2A+ 的范围，可得sin（2A+）的范围，从而求得f（A）的取值范围．
【解析】
（I）f（x）==2cos2x+2sinxcosx=2sin（2x+）+1，故函数的周期为π．
令  2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，可得  kπ-≤x≤kπ+，k∈z，
故函数的单调递增区间为[kπ-，kπ+]，k∈z．
（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得（sinA+2sinC）cosB=-sinBcosA，
即sinAcosB+2sinCcosB=-sinBcosA，sinAcosB+sinBcosA=-2sinCcosB，
即sin（A+B）=-2sinCcosB，∴cosB=-，B=，∴f（A）=2sin（2A+）+1．
由于 0＜A＜，∴＜2A+＜，＜sin（2A+）≤1，2＜f（A）≤3，
故f（A）的取值范围为（2，3]．