Question

如图，在六面体ABCDEFG中，平面ABC∥平面DEFG，AD⊥平面DEFG，AB⊥AC，ED⊥DG，EF∥DG，且AC=EF=1，AB=AD=DE=DG=2．
（1）求证：平面BEF⊥平面DEFG；
（2）求证：BF∥平面ACGD；
（3）求三棱锥A-BCF的体积．

Answer

（1）由已知中平面ABC∥平面DEFG，平面ABC∩平面ADEB=AB，平面DEFG∩平面ADEB=DE，结合面面平行的性质定理，我们可得到AB∥DE，进而判断出四边形ADEB为平行四边形，即BE∥AD，结合AD⊥平面DEFG，和面面垂直的判定定理，即可得到平面BEF⊥平面DEFG；
（2）取DG的中点为M，连接AM、FM，证四边形DEFM是平行四边形，结合线面平行的判定定理，即可得到BF∥平面ACGD；
（3）由已知中平面ABC∥平面DEFG，可得F到面ABC的距离为AD，计算出AD的长及底面面积，代入棱椎体积公式即可得到三棱锥A-BCF的体积．
证明：（1）已知如图：

∵平面ABC∥平面DEFG，平面ABC∩平面ADEB=AB，
平面DEFG∩平面ADEB=DE∴AB∥DE．∵AB=DE∵AB=DE，
∴ADEB为平行四边形，BE∥AD．（2分）∵AD⊥平面DEFG，∴BE⊥平面V，∵BE⊂平面BEF，
∴平面BEF⊥平面DEFG．（4分）
（2）取DG的中点为M，连接AM、FM，
则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形，
∴，又∵，∴（6分）
∴四边形ABFM是平行四边形，即BF∥AM，
又BF⊄平面ACGD故BF∥平面ACGD．（8分）
【解析】
（3）∵平面ABC∥平面DEFG，则F到面ABC的距离为AD．
∴=．（12分）