Question

已知椭圆的左焦点为F，左右顶点分别为A，C上顶点为B，过F，B，C三点作⊙P，其中圆心P的坐标为（m，n）．
（1）若FC是⊙P的直径，求椭圆的离心率；
（2）若⊙P的圆心在直线x+y=0上，求椭圆的方程．

Answer

（1）由椭圆的方程知a=1，点B（0，b），C（1，0），设F的坐标为（-c，0），由FC是⊙P的直径，知FB⊥BC．由，知b2=c=1-c2，c2+c-1=0．由此能求出椭圆的离心率．
（2）由P过点F，B，C三点，知圆心P既在FC的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上，FC的垂直平分线方程为．由BC的中点为，kBC=-b，知BC的垂直平分线方程为，所以．由P（m，n）在直线x+y=0上，知b=c．由此能求出椭圆的方程．
【解析】
（1）由椭圆的方程知a=1，∴点B（0，b），C（1，0），
设F的坐标为（-c，0），（1分）
∵FC是⊙P的直径，
∴FB⊥BC
∵
∴（2分）
∴b2=c=1-c2，c2+c-1=0（3分）
解得（5分）
∴椭圆的离心率（6分）
（2）【解析】
∵⊙P过点F，B，C三点，
∴圆心P既在FC的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上，
FC的垂直平分线方程为①（7分）
∵BC的中点为，kBC=-b
∴BC的垂直平分线方程为②（9分）
由①②得，
即（11分）
∵P（m，n）在直线x+y=0上，
∴⇒（1+b）（b-c）=0
∵1+b＞0
∴b=c（13分）
由b2=1-c2得
∴椭圆的方程为x2+2y2=1（14分）