Question

设函数f（x）=x²+|x-a|（x∈R，a∈R）．
（1）讨论f（x）的奇偶性；
（2）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（3）若f（x）＜10对x∈（-1，3）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）当a=0时，f（x）为偶函数；当a≠0时，f（x）为非奇非偶函数；
（2）a=1时，f（x）=x2+|x-1|=，再进行配方，利用函数的图象，确定函数的单调区间；
（3）f（x）=x2+|x-a|＜10对x∈（-1，3）恒成立，等价于x2-10＜x-a＜10-x2，分离参数可得对x∈（-1，3）恒成立，从而可求实数a的取值范围．
【解析】
（1）当a=0时，f（x）为偶函数；当a≠0时，f（x）为非奇非偶函数
（2）a=1时，f（x）=x2+|x-1|==
∴函数的单调减区间为（-∞，），函数的单调增区间为（，+∞）
（3）f（x）=x2+|x-a|＜10对x∈（-1，3）恒成立，等价于x2-10＜x-a＜10-x2，
等价于对x∈（-1，3）恒成立
∴2≤a≤4