Question

已知二次函数y=g（x）的图象经过点O（0，0）、A（m，0）与点P（m+1，m+1），设函数f（x）=（x-n）g（x）在x=a和x=b处取到极值，其中m＞n＞0，b＜a．
（1）求g（x）的二次项系数k的值；
（2）比较a，b，m，n的大小（要求按从小到大排列）；
（3）若m+n≤2，且过原点存在两条互相垂直的直线与曲线y=f（x）均相切，求y=f（x）．

Answer

（1）由题意可设g（x）=kx（x-m），k≠0，根据题中条件：函数图象经过点P（m+1，m+1），列出等式得k值；
（2）由（1）可得y=g（x）=x（x-m）=x2-mx．从而f（x）=x3-（m+n）x2+mnx，再利用导数研究此函数的极值，结合取值极值的条件得出a，b，m，n的大小．
（3）设切点Q（x，y），利用导数的几何意义得到切线的斜率及切线的方程，再结合基本不等式及两条切线垂直，求出，mn=1，从而得到y=f（x）的解析式．
【解析】
（1）由题意可设g（x）=kx（x-m），k≠0，
又函数图象经过点P（m+1，m+1），则m+1=k（m+1）（m+1-m），得k=1．…（2分）
（2）由（1）可得y=g（x）=x（x-m）=x2-mx．
所以f（x）=（x-n）g（x）=x（x-m）（x-n）=x3-（m+n）x2+mnx，
f′（x）=3x2-2（m+n）x+mn，…（4分）
函数f（x）在x=a和x=b处取到极值，
故f′（a）=0，f′（b）=0，…（5分）
∵m＞n＞0，
∴f′（m）=3m2-2（m+n）m+mn=m2-mn=m（m-n）＞0…（7分）
f′（n）=3n2-2（m+n）n+mn=n2-mn=n（n-m）＜0
又b＜a，故b＜n＜a＜m．                                 …（8分）
（3）设切点Q（x，y），则切线的斜率
又，所以切线的方程是…（9分）
又切线过原点，故
所以，解得x=0，或．  …（10分）
两条切线的斜率为，，
由，得（m+n）2≤8，
∴，
∴，
…（12分）
所以，
又两条切线垂直，故k1k2=-1，所以上式等号成立，有，且mn=1．
所以．              …（14分）