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若函数y=f(x)是周期为2的偶函数,当x∈[2,3]时,f(x)=x-1.在y...

若函数y=f(x)是周期为2的偶函数,当x∈[2,3]时,f(x)=x-1.在y=f(x)的图象上有两点A、B,它们的纵坐标相等,横坐标都在区间[1,3]上,定点C的坐标为(0,a)(其中2<a<3),
(1)求当x∈[1,2]时,f(x)的解析式;
(2)定点C的坐标为(0,a)(其中2<a<3),求△ABC面积的最大值.
(1)由f(x)是以2为周期的周期函数,当x∈[2,3]时,f(x)=x-1,知当x∈[0,1]时,f(x)=f(x+2)=(x+2)-1=x+1.由f(x)是偶函数,知当x∈[-1,0]时,f(x)=f(-x)=-x+1.由此能求出当x∈[1,2]时,f(x)的解析式. (2)设A、B的横坐标分别为3-t,t+1,1≤t≤2,则|AB|=(t+1)-(3-t)=2t-2,故△ABC的面积为S=(2t-2)•(a-t)=-(t-)2+,由此能求出S最大值. 【解析】 (1)∵f(x)是以2为周期的周期函数, 当x∈[2,3]时,f(x)=x-1, ∴当x∈[0,1]时,f(x)=f(x+2)=(x+2)-1=x+1.…(1分) ∵f(x)是偶函数, ∴当x∈[-1,0]时,f(x)=f(-x)=-x+1,…(2分) 当x∈[1,2]时,f(x)=f(x-2)=-(x-2)+1=-x+3.…(4分) (2)设A、B的横坐标分别为3-t,t+1,1≤t≤2, 则|AB|=(t+1)-(3-t)=2t-2,…(6分) ∴△ABC的面积为S=(2t-2)•(a-t) =-t2+(a+1)t-a(1≤t≤2) =-(t-)2+, ∵2<a<3,∴<<2. 当t=时,S最大值=.…(12分)
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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