Question

已知抛物线C：y²=2px，F为C的焦点，F到准线距离为2，直线l过焦点F且与抛物线交于A、B两点．
（1）求•的值．
（2）若=λ，求△ABO面积S的最小值．
（3）在（2）条件下，若S≤，求λ的范围．

Answer

（1）利用p的意义即可求出，设出直线的方程，与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系及向量的数量积即可求出；
（2）利用，，，三角形的面积公式及基本不等式的性质即可得出；
（3）利用（2）的结论解出即可．
【解析】
（1）∵焦点F到准线距离为2，∴p=2，∴抛物线C的方程为y2=4x，F（1，0）．
设A（x1，y1），B（x2，y2）．
设直线l的方程为my=x-1，联立消去x得到y2-4my-4=0，∴y1+y2=4m，y1y2=-4．
∴=x1x2+y1y2=（my1+1）（my2+1）+y1y2=（m2+1）y1y2+m（y1+y2）+1=-4（m2+1）+4m2+1=-3；
（2）由（1）（不妨设y1＞0，y2＜0）及可知：，λ＞0，而，，∴．
S△ABO==，
∴===4，当且仅当λ=1取等号，即Smin=2．
（3）由（2）可知：，
∴，解得．