Question

已知椭圆C：，左焦点，且离心率
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C交于不同的两点M，N（M，N不是左、右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆C的右顶点A．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．

Answer

（I）由题设知c=，，由此能求出椭圆C的方程．
（II）设M（x1，y1）  N（x2，y2），右顶点A（2，0），，由以MN为直径的圆经过椭圆C的右顶点A，知（2-x2）（2-x1）+y1y2=0，由y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2，知4+（km-2）（x1+x2）+（1+k2）x1x2+m2=0．把y=kx+m代入椭圆方程，得（+k2）x2+2kmx+m2-1=0，再由韦达定理结合题设条件能求出该定点坐标．
（I）【解析】
∵椭圆C：，
左焦点，且离心率，
∴c=，，
∴a=2，b2=4-3=1，
∴椭圆C的方程．
（II）证明：设M（x1，y1）  N（x2，y2），
右顶点A（2，0）
，
∵以MN为直径的圆经过椭圆C的右顶点A，
∴（2-x2）（2-x1）+y1y2=0，
∵y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2
∴4+（km-2）（x1+x2）+（1+k2）x1x2+m2=0  ①
把y=kx+m代入椭圆方程，
得+（kx+m）2=1，
整理，得（+k2）x2+2kmx+m2-1=0，
所以x1x2=，x1+x2=-，②
把②入①，得
4+（km-2）•（-）+（1+k2）•+m2
=（5m2+16km+12k2）÷（1+4k2）
=（m+2k）（5m+6k）÷（1+4k2）
=0
所以m+2k=0 或者 m+k=0
当m+2k=0时，直线y=kx-2k恒过点（2，0）和A点重合显然不符合
当m+k=0时 直线恒过点（，0）符合题意
所以该定点坐标就是（，0）．