Question

设f （x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（-3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（ ）
A．（-3，0）∪（3，+∞）
B．（-3，0）∪（0，3）
C．（-∞，-3）∪（3，+∞）
D．（-∞，-3）∪（0，3）

Answer

先根据f’（x）g（x）+f（x）g’（x）＞0可确定[f（x）g（x）]'＞0，进而可得到f（x）g（x）在x＜0时递增，结合函数f（x）与g（x）的奇偶性可确定f（x）g（x）在x＞0时也是增函数，最后根据g（-3）=0可求得答案．
【解析】
设F（x）=f （x）g（x），当x＜0时，
∵F′（x）=f′（x）g（x）+f （x）g′（x）＞0．
∴F（x）在当x＜0时为增函数．
∵F（-x）=f （-x）g （-x）=-f （x）•g （x）．=-F（x）．
故F（x）为（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数．
∴F（x）在（0，∞）上亦为增函数．
已知g（-3）=0，必有F（-3）=F（3）=0．
构造如图的F（x）的图象，可知
F（x）＜0的解集为x∈（-∞，-3）∪（0，3）．
故选D