Question

已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数．
（1）当a=-1时，求f（x）的最大值；
（2）若f（x）在区间（0，e]上的最大值为-3，求a的值；
（3）当a=-1时，试推断方程|f（x）|=是否有实数解．

Answer

（1）在定义域（0，+∞）内对函数f（x）求导，求其极大值，若是唯一极值点，则极大值即为最大值．
（2）在定义域（0，+∞）内对函数f（x）求导，对a进行分类讨论并判断其单调性，根据f（x）在区间（0，e]上的单调性求其最大值，并判断其最大值是否为-3，若是就可求出相应的最大值．
（3）根据（1）可求出|f（x）|的值域，通过求导可求出函数g（x）═的值域，通过比较上述两个函数的值域，就可判断出方程|f（x）|=是否有实数解．
【解析】
（1）易知f（x）定义域为（0，+∞），
当a=-1时，f（x）=-x+lnx，f′（x）=-1+，令f′（x）=0，得x=1．
当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0．
∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数．
f（x）max=f（1）=-1．
∴函数f（x）在（0，+∞）上的最大值为-1．
（2）∵f′（x）=a+，x∈（0，e]，∈．
①若a≥，则f′（x）≥0，从而f（x）在（0，e]上增函数，
∴f（x）max=f（e）=ae+1≥0，不合题意．
②若a＜，则由f′（x）＞0＞0，即0＜x＜
由f′（x）＜0＜0，即＜x≤e．
从而f（x）在上增函数，在为减函数
∴f（x）max=f=-1+ln
令-1+ln=-3，则ln=-2
∴=e-2，即a=-e2．∵-e2＜，∴a=-e2为所求．
（3）由（1）知当a=-1时f（x）max=f（1）=-1，
∴|f（x）|≥1．
又令g（x）=，g′（x）=，令g′（x）=0，得x=e，
当0＜x＜e时，g′（x）＞0，g（x）  在（0，e）单调递增；
当x＞e时，g′（x）＜0，g（x） 在（e，+∞）单调递减．
∴g（x）max=g（e）=＜1，∴g（x）＜1，
∴|f（x）|＞g（x），即|f（x）|＞．
∴方程|f（x）|=没有实数解．