Question

已知定义在正实数集上的函数f（x）=x²+2ax，g（x）=3a²lnx+b，其中a＞0．设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同．
（Ⅰ）用a表示b，并求b的最大值；
（Ⅱ）求证：f（x）≥g（x）  （x＞0）．

Answer

（Ⅰ）设出两曲线的公共点坐标，分别求出f（x）和g（x）的导函数，把设出点的坐标代入两导函数中得到两关系式，联立两关系式即可解出公共点的横坐标，把求出的横坐标代入得到用a表示出b的式子，设h（t）等于表示出的式子，求出h（t）的导函数，令导函数大于0求出t的范围即为函数的增区间，令导函数小于0求出x的范围即为函数的减区间，根据函数的增减性即可求出h（t）的最大值即为b的最大值；
（Ⅱ）设F（x）=f（x）-g（x），求出F（x）的导函数，根据导函数的正负得到F（x）的单调区间，由x大于0和函数的增减性得到F（x）的最小值为0，即f（x）-g（x）大于等于0，得证．
【解析】
（Ⅰ）设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点（x，y）处的切线相同．
∵f'（x）=x+2a，，由题意f（x）=g（x），f'（x）=g'（x）．
即由得：x=a，或x=-3a（舍去）．
即有．
令，则h'（t）=2t（1-3lnt）．
于是当t（1-3lnt）＞0，即时，h'（t）＞0；当t（1-3lnt）＜0，即时，h'（t）＜0．
故h（t）在为增函数，在为减函数，
于是h（t）在（0，+∞）的最大值为．
（Ⅱ）设，
则F'（x）=．
故F（x）在（0，a）为减函数，在（a，+∞）为增函数，
于是函数F（x）在（0，+∞）上的最小值是F（a）=F（x）=f（x）-g（x）=0．
故当x＞0时，有f（x）-g（x）≥0，即当x＞0时，f（x）≥g（x）．