Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=AC=AA₁，D，E，F分别为AB₁，CC₁，BC的中点．
（1）求证：DE∥平面ABC；
（2）求证：B₁F⊥平面AEF；
（3）求二面角B₁-AE-F的大小．

Answer

（1）取AA1，的中点G，连接DG，EG，根据三角形中位线定理及面面平行的第二判定定理可得平面GDE∥平面ABC，再由面面平行的性质得到DE∥平面ABC；
（2）根据等腰三角形三线合一，可得AF⊥BC，由面面垂直的性质定理和线面垂直的性质定理可得B1F⊥AF；由勾股定理可得B1F⊥EF，最后由线面垂直的判定定理得到B1F⊥平面AEF．
（3）以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O-xyz，分别求出平面B1AE和平面AEF的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．
证明：（1）取AA1，的中点G，连接DG，EG
∵D，E为AB1，CC1的中点，
则DG∥AB，EG∥AC，
又∵DG，EG⊂平面GDE，DG∩EG=G，AB，AC⊂平面ABC
∴平面GDE∥平面ABC，
又∵DG⊂平面GDE
∴DG∥平面ABC．
（2）连结AF，则AF⊥平面BCC1B1．
∵AB=AC，F为BC的中点
∴AF⊥BC
∵棱柱ABC-A1B1C1为直棱柱
∴平面ABC⊥平面BCC1B1．
又∵平面ABC∩平面BCC1B1=BC
∴AF⊥平面BCC1B1，
又∵B1F⊂平面BCC1B1，
∴B1F⊥AF，
在△B1FE中，B1F=AB，B1=AB，EF=AB
由勾股定理易得B1F⊥EF，
又∵AF，EF⊂平面AEF，AF∩EF=F
∴B1F⊥平面AEF．
（3）以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O-xyz，
则=（，，-1）为平面AEF的法向量．
又=（1，0，1），=（0，1，），
设平面B1AE的法向量为=（x，y，z），则
，即
取z=-1，则=（1，，-1），从而
cosθ=，
即二面角B1-AE-F是arccos．